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Session 3
Dans cette troisième session, nous nous intéressons aux outils mathématiques d'un point de vue historique et en lien avec la nature de l'activité mathématique.
(source)
En colligeant des résultats importants, ainsi que des heuristiques sous forme de problèmes et leurs solutions, ces tablettes d'argile peuvent sans doute compter comme un des plus ancien "outil" mathématique connu. Intéressant de penser comment la matière (argile, stylet de bois) à pu influencer le travail mathématique (pour les nombres: système de notation positionnelle utilisant seulement 2 symboles).
On pourrait aussi considérer comme des "outils" mathématiques les méthodes utilisées pour obtenir certains résultats. Offrons-nous donc une petite exploration en ce sens!
Un petit problème
Voici un petit problème somme toute bien banal:Trouver le côté d'un carré dont la surface est de 200 hops.
Solutionnez ce problème sans faire appel à un algorithm (ni à votre calculatrice, ou autre instrument)!
Méthode Babylonienne
Il s'agit évidemment d'un problème "d'extraction de racine carrée" qu'on peut voir comme faisant partie de la famille plus large the problèmes demandant, comme on le dit aujourd'hui, de solutionner une équation du second degré: ax2+bx+c=0 . Les babyloniens avaient différentes techniques pour résoudre ce genre de problème. Le plus simple, qui s'applique ici, consiste à faire une moyenne. C'est la même technique de présente Heron d'Alexandrie quelques 1700 ans plus tard:
En vous permettant d'utiliser nos symboles et manières de faire l'addition et la division, solutionnez le problème des 200 hops avec cette formule, où e est un approximation de la racine recherchée!
En répétant la formule avec la nouvelle approximation, e', on arrive assez rapidement à un niveau de précision impressionnant!
Utiliser de manière récurrente la méthode babylonienne jusqu'à obtenir 5 décimales pour la racine de 200 (√200 = 14.1421356237...)
Chez les indiens
Une élaboration intéressante de la formule babylonienne a été retrouvé en Inde, dans une manuscrit de Bakhshali datant d'environ -400. On utilise 2 fois la formule, et cette fois on prend on considération la différence entre ce que donne notre approximation et la valeur recherchée. Le fragment suivant montre un extrait de la l'illustration que donne Bakhshali de la méthode appliquée au difficile problème 3x2/4 + 3x/4 = 7000, qu'il savait évidemment résoudre...
(source)
En notation moderne, ça revient à faire ceci:
Soit n = e2 + b, alors e' est donné par:
En partant de e = 14, calculez √200 avec cette formule!
Pas à pas?
Comment ces méthodes par approximations se comparent-elles avec un algorithm donnant le résultat exact d'un calcul de racine? Bien sur, un tel algorithm existe, qui fait un peu penser à celui de la division. On trouve trace d'un tel algorithm dans un autre manuscrit Indien, datant de l'an 500 environ, et signé de la main d'un certain Aryabhata. C'est essentiellement le même algorithm qu'on retrouve plus tard dans les travaux des mathématiciens Arabes et Européen, et qui fut enseigné dans les écoles une bonne partie du 20ème siècle. Je l'illustre pour vous dans le cas assez simple du calcul de √150. À vous de voir pourquoi ça marche (bonne chance!!).
Notons d'abord que 150, c'est aussi ...000150.0000...
Ce qu'on fait ensuite c'est partager le nombre en paquet de 2 chiffres à partir du point décimal:
01 50 . 00 00 00 ...
On s'intéresse au paquet de chiffres différent de 00 à la plus haute position: ici, c'est 01.- On cherche le plus proche carré parfait c<=01 et sa racine r. Ici, c'est simplement r=1 car 1^2=1<=01
- ce chiffre (1) est le premier chiffre de √150
- Pour la suite, on calcule la différence d (le 'reste'): 01-1=0
- On colle le paquet suivant à la droite du reste: 050
- On multiplie le nombre formé par les chiffres trouvés pour la racine par 20 (sans égars au point décimal s'il y en a un, voir plus bas): 1*20=20
- On cherche maintenant le chiffre r nous donnant le nombre le plus élevé pour (20+r)*r<=050. Ici, c'est r=2 car 22*2=44<50 (et 23*3=69, trop grand)
- ce chiffre (2) est le suivant pour √150
- Pour la suite, on calcule la différence d : 50-44=6
On a donc jusqu'ici: √150=12
On passe ensuite aux décimales, en continuant le même procédé:
- On colle le prochain paquet à la droite de d : 600
- On multiplie le nombre formé par les chiffres trouvés pour la racine par 20: 12*20=240
- On cherche maintenant le chiffre r nous donnant le nombre le plus élevé pour (240+r)*r<=600. Ici, c'est r=2 car 242*2=484<600 (et 243*3=729, trop grand)
- ce chiffre (2) est le suivant pour √150
- Pour la suite, on calcule la différence d: 600-484=116
On a maintenant: √150=12.2
Un dernier chiffre, pour le plaisir:
- On colle le prochain paquet à la droite de d : 11600
- On multiplie le nombre formé par les chiffres trouvés pour la racine par 20: 122*20=2420 (c'est à partir d'ici qu'on ignore le point)
- On cherche le chiffre r nous donnant le nombre le plus élevé pour (2420+r)*r<=11600. Là c'est plus laborieux, mais on y arrive: r=4 car 2424*4=9696<11600
- Le chiffre suivant pour √150 est donc 4
- etc.
Il existe aussi (au moins) un "raccourci" pour trouver r quand on est face à de grand nombres. Par exemple, pour le prochain chiffre on cherche (24480+r)*r<=190400. Le chiffre r est évidemment proche de la partie entière du résultat de la division du reste 'augmenté' par le produit des chiffre trouvés par 20. Ici, on a r ≈ [190400/24480] = [7.77...]=7. Donc, si on peut faire une division sans trop de problème, on a des chances de se sauver un peu de travail (on peut tenter des arrondis: 19/2.5 ou 190/24 ou 1904/244...). Dans ce cas, 7 est effectivement le chiffre suivant.
√150=12.247...
Essayez de reprendre cet algorithm pour calculer √200
Dans les règles
Le côté souvent lent et pénible de cet algorithm explique bien qu'on lui préfère souvent des méthodes approximatives. En termes d'efficacité, on en fait tout avantage à retourner vers des outils au sens ou on l'entend généralement. La règle à calculer est un des ces ingénieux instruments! Selon les règles offertes, il est possible de calculer des valeurs trigonométriques par example, mais aussi des racines carrées, cubiques, etc. Mais contrairement aux calculatrices modernes, ceci demande un peu plus de travail mathématique. Et puis évidemment, il existe plusieurs variation de règles.
(source)
Disons simplement que l'idée générale est d'avoir une règle graduée de manière ç ce qu'on puisse avoir en vis-à-vis les nombres 1,2,3,4... et leur racine 1, 1.414, 1,732, 2. On utilise ensuite la règle en se basant sur le fait que √ab=√a•√n en prenant a=10 et a=100 (ou une puissance de 10 ou 100). De cette manière, on peut toujours "ramener" un nombre à une valeur entre 1 et 10. Avec 200, on aura a=100 et n=2. Avec 14.3 on aurait a=10 et n=1.43. Pour des nombres plus grands (ou plus petits, car on peut aussi diviser par 10 ou 100), on est encore toujours dans un cas soit on a un facteur de 100, soit on a un facteur de 10. Et comme √10 et √100 ont des valeurs différentes, la règle présente deux graduations.
Donc, la règle nous donne en général que la valeur de √n pour 0>n>10. Si le nombre qui nous intéresse est plus grand ou plus petit, on compte les chiffres pour savoir si on va lire sur la règle de "impair" (pour 20, 2000, etc.) ou "paire" (pour 2, 200, etc.). C'est l'utilisateur qui doit ensuite "placer la décimale" en fonction de l'ordre de grandeur attendue. Ainsi, pour √200 ou va chercher sur la règle "paire" la valeur de √2, et on multiplie par 10. On peut voir sur la figure suivante, la racine à extraire est choisie sur la graduation A, et la racine obtenue est lue sur la graduation C. Ainsi, à gauche on reconnait √2≈1.41(4) et à droite √20≈4.47(2)
Et de même, à gauche on voit √4.5≈2.12(1) et à droite √45≈6.70(8)
(Note: tel que mentionné dans la page source pour l'image ci-dessus, ces règles sont très difficiles à représenter adéquatement avec des pixels parce que les échelles varient de façon non linéaire)
Il est possible de gagner en précision par rapport à une lecture directe en "amplifiant" l'échelle utiliser, mais c'est peut-être pour une autre fois!
Expliquez et justifiez comment on utilise la règle dans la position si haut pour évaluer √200.
[essayer ici]
Mais encore?
De nos jours, tout ceci est évidemment de l'histoire ancienne. Si j'ai besoin de résoudre un tel problème, je peux simplement poser la question à mon ordinateur, mon téléphone ou ma montre, ou utiliser un calculatrice pour obtenir le résultat moi-même en un instant.
Si on accepte que toutes ces instances sont malgré tout bel et bien .. activité mathématique, comment se compare-t-elles? Que signifie, très concrètement, faire des maths dans chaque cas?
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